方向导数

设

在零附近连续，而且

有些书籍中会较为严格地定义方向导数为函数在某一点沿单位长度向量的方向导数，在这样的上下文中，“函数在某点沿向量

许多导数的常见性质都适用于方向导数。例如，对于任何在p的邻域内有定义且在点p可微的函数，都有：

加法定则：

常数因子法则：对于任何常数c，

乘法定则（或莱布尼兹法则）：

复合函数求导法则：如果g在点p可微，h在g(p)可微，则

如果函数

其中

如果函数在某一点可微，则其在这一点上沿任何向量的方向导数都存在。但反之则不然。即便一个函数在某一点上沿任何向量的方向导数都存在，它也有可能在这一点上不可微，甚至不连续。

最大方向导数

如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在，则其中必有最大的一个。由柯西不等式可知，方向导数的最大值等于其梯度的范数，当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向。

设M是一个可微流形，x是M上的一个点。假设f是在P的邻域内有定义且在点x可微的函数。如果v是M在点x的一个切向量，则f沿着v方向的方向导数可以定义如下。设γ : [-1,1] → M是一个可微曲线，γ(0) = x，且γ′(0) = v。则方向导数定义为：

法向导数是在空间里沿着某个曲面的法线方向（也就是垂直该曲面）的方向导数，或者更一般地，沿着某个超曲面（hyperface）的法向量的方向导数。参见诺伊曼边界条件。如果法线方向记为