二阶微分方程

二阶微分方程的一般形式是

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

1）y''=f(x)型

方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。

解：原方程两边积分两次，得通解

2）y''=f(x,y')型

方程特点：右端函数表达式中不含有未知函数y。

由于y'也是x的未知函数，可设p(x)=y'，则原方程可降阶为

3）y''=f(y,y')型

方程特点：右端函数表达式中不含有自变量x。

令y'=p(y)，利用复合函数求导法则

一般形如

当f(x)=0时，方程

1）二阶常系数线性齐次微分方程的解

定理1（线性齐次微分方程通解的结构定理）如果函数y1(x)与y2(x)是(2)的两个线性无关的解，则函数

微分方程

2）二阶常系数线性非齐次微分方程的解

定理2（线性非齐次微分方程通解的结构定理）如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。

对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。