亨利·庞加莱

家庭

庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。

童年

才华初展

庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。

求学生涯

庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边在脑中解数学难题。这种习惯一直保持终身。

1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他亲眼看到的德军的暴行，成了一个炽热的爱国者。

恢复学业

1871年，庞加莱继续学业。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而于1873年被高等工科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。

大学研究

1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。

1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。

1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。

不幸辞世

1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁。

庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论（1878）。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。

1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理（1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。

庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。

1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。庞加莱这一工作究竟给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分（uniform first integral）。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分（invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理（recurrence theorem）。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象（first return map）的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数（characteristic expontents），解对参数的连续依赖性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。第三，庞加莱通过研究所谓的渐进解（asymptotic solutions），同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道（hetroclinic orbits），发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形（stable manifold）和不稳定流形（unstable manifold）正态相交（intersects transversally）所引起的同宿交错网（homoclinic tangle），而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌（chaos）。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。

庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。

庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。

庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。

庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。

庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。

庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。早于爱因斯坦，庞加莱在1897年发表了一篇文章“The Relativity of Space”〈空间的相对性〉，其中已有狭义相对论的影子。1898年，庞加莱又发表《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。1902年，庞加莱阐明了相对性原理。1904年，庞加莱将洛伦兹给出的两个惯性参照系之间的坐标变换关系命名为‘洛伦兹变换’。再后来，1905年6月，庞加莱先于爱因斯坦发表了相关论文：《论电子动力学》。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。

庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。

1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。

主条目：庞加莱猜想

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

大于等于五维的庞加莱猜想被斯蒂芬·斯梅尔证明；四维的庞加莱猜想被迈克尔·弗里德曼证明；三维的庞加莱猜想被俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002-2003年证明。他们分别获得1966年，1986年和2006年菲尔兹奖。

阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是亨利·庞加莱。“当我最近在盖·吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，……我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间（可能有两、三分钟）仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”

这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学杂志》的英国数学家西尔维斯特于1885年见到庞加莱的心情写照。

庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。

奖项

英国皇家天文学会金质奖章（1990年）

布鲁斯奖（1911年）

命名

月球上的庞加莱火山口

小行星：2021庞加莱

庞加莱大学